散列一般也叫哈希。散列表也叫哈希表。本位将介绍散列表的基本知识、一致性哈希、哈希碰撞攻击及Java里的哈希实现。

介绍

散列表是普通数组概念的推广，在最坏情况下查找一个元素需要O(n)，在一些合理假设下，查找一个元素的期望时间为O(1)。

在散列表中，不是直接把关键字用作数组下标，而是根据关键字计算出下标。

散列函数：作用就是根据关键字计算出数组下标。

碰撞（collision）：多个关键字映射到同一个数组下标位置。

槽：一般把散列表的数组的一个存储单元（元素）叫做槽。

简单一致性散列：（Simple uniform hashing）假设任何元素散列到m个槽中的每一个的可能性是相同的，且与其他元素已被散列到什么位置上独立无关，这个假设称为简单一致性散列。

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向量旋转

题目均来自《编程珠玑》。

题

将一个n元一维向量向左旋转（循环移位）i个位置。例如，当n=8时且i=3时，向量abcdefgh旋转为defghabc。简单的代码使用一个n元的中间向量在n步内完成该工作。能否仅用数十个额外直接的存储空间，在正比于n的时间内完成向量的旋转？

旋转操作对应于交换相邻的不同大小的内存块：每当拖动文件中的一块文件到其他地方时，就要求程序交换两块内存中的内容。

两个简单直接的方法

方法一：首先将 x 的前 i 个元素复制到一个临时数组中，然后将余下的 n-i 个元素向左移动 i 个位置，最好将最初的 i 个元素从临时数组中复制到 x 中余下的位置。这种办法使用 i 个额外的位置产生了过大的存储空间的消耗。

方法二：定义一个函数将 i 向左旋转一个位置（其时间正比于 n），然后调用该函数 i 次。该方法产生了过多的运行时间消耗。

下面介绍三种更好的方法。

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非递归、固定量额外存储空间 遍历二叉树

题

写出一个O(n)时间的非递归过程，输出给定的含n个节点的二叉树中每个结点的关键字，要求只能使用除树本身以外固定量的额外存储空间，而且在过程中不能修改该树，哪怕只是暂时的。

树的遍历方式分类

从树的深度分类

树的遍历可以分为广度优先和深度优先两种形式。

• 广度优先，就是先输出父结点，再输出子结点。一般借助于（FIFO）队列。
• 深度优先，就是先输出子结点，再输出父结点。一般需要借助（LIFO）栈结构，如果不使用栈数据结构，一般就需要借用运行时的方法调用栈。

从树的节点的先后顺序分类

树的遍历可以分为先根遍历、中序遍历、后序遍历。前中后是以父节点在遍历中的顺序为根据的。

• 先根遍历：先遍历根，再遍历左子树，最后遍历右子树。
• 中序遍历：先遍历左子树，再遍历根，最后遍历右子树。
• 后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根。

分析

由于只能使用固定量的额外存储空间，所以，没法构建队列或栈来进行遍历 或 用变量标记哪些结点是已输出的。由于不能修改树，也没法在树上做标记。所以，结点是否已输出只能在遍历过程中判断，也就需要遍历的算法能够区分出已输出和未输出的。

如果采用广度优先的方式，先输出父结点后，由于没有足够的空间来存储对子树的引用，树可以说是变为两棵独立的树，这个方式应该是不可行的。

如果采用深度优先的方式，以中序遍历为例，总是按左子树、父结点、右子树的顺序遍历，那么当右子树遍历完后，说明父结点及其所有子树都遍历完成了，可以这样往上处理父结点的父结点。而判断右子树是否遍历完成可以通过：当前遍历完成的结点是否是父结点的右结点来完成。这种方法是可行的。

当结点p及其子树都遍历完成后，需要向上查找第一个未遍历的右子树（parent = p.parent）：

• p == parent.rChild，当前遍历是子树是右子树，需要继续往上查找；
• 否则，p是parent的左孩子，先输出parent；如果parent有右孩子，需要进行遍历；如果parent没有右孩子，需要继续往上查找。

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题

编程计算给定的整数在用二进制来表示时含有多少个 1。

分析

假定以高位在前、低位在后的形式，一个整数的二进制表示为：000110100；当该整数减1时，由于低位是0，所以会一直往高位借位，直至碰到最低位的1（竖线后面的那个1）：000110|100；减1之后整数那个最低位1变为0，之后的位都变为1：000110|011；此时进行 i & (i-1) 就会让竖线后面的都变为0：

000110|100　　i
000110|011　　i-1
000110|000　　i&(i-1)

1110　　-2
1101　　-2 - 1
1100　　-2 & (-2 - 1)

所以 i = i & (i-1) 都会让 i 里的位为 1 的个数减一。对于负数，同样具有这样的性质。
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堆排序

这里的堆不是编程语言里的堆，是一种数据结构。

堆像一棵倒立的满二叉树，每个节点最多有两个直接子节点。最上面的节点称为根节点，没有子节点的节点称为叶子节点，有子节点的节点称为分支节点。

堆有大顶堆和小顶堆之分。大顶堆是指分支节点大于它的所有子节点，堆里最大元素是根节点；小顶堆是指分支节点小于它的所有子节点，堆里最小元素是根节点。

堆排序是借助堆数据结构进行排序的一种高效算法，它的平均时间复杂度是O(n*lg(n))。

实现

堆排序的核心是构建和维持堆。

实现时要注意的是：

• 以数组第一个节点（序号为0）为根，方便计算叶子节点。

• 大多数算法介绍都是以1为数组的起始下标的，左右叶子节点的计算分别为：lchild=2*parent; rchild =2*parent+1；而实际编程语言大多数都是以0为起始下标的，所以子节点计算需要调整为：lchild=2*parent+1; rchild=2*parent+2；因为根节点是0，导致根节点的左子树与根节点相同而出错。

• 构建是从底向上逐层构建堆，从最后一层的分支节点（ len(arr)/2 ）开始构建堆。

• 从堆顶取出最大元素与最后一个堆元素交互后，堆的大小减1。所以堆在排序过程中是逐渐缩小的，但根总是第一个元素，所以可以利用之前也构建好的堆，只需要调整一棵子树。
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快速排序也是基于分治模式的，对于规模为n的数组，最坏情况运行时间是O(n^2)，平均运行时间是O(lg(n))。

对数组A[p…r]排序的分治过程的三个步骤：

• 分解：数组A[p…r]被划分成两个（可能空）子数组A[p…q-1]和A[q+1…r]，使得A[p…q-1]中的每个元素都小于等于A[q]，而且小于等于A[q+1…r]中的元素。下标q也在这个划分过程中计算。
• 解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p…q-1]和A[q+1…r]排序。
• 合并：因为两个子数组是就地排序，将他们合并不需要操作：整个数组A[p…r]已经排序。

从上面的步骤可以看到，快速排序的关键在划分子数组，且每次划分都产生一个元素，它所在的位置就是它最终的位置。
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问题描述

对于一个给定的整数数组arr[0...n)，求这样一个子数组，它的元素的累加和在所有子数组中是最大的。

这个题在《编程珠玑》一书中有介绍，以前也是在这本书上看到解决方法后就再也没有忘记了。现在重新实现并记录一下，记录了从最低效的3重循环解决方法到最高效的线性时间解决方法及其中的优化考量。
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合并排序

合并排序是基于分治思想的：
1. 如果数组足够小，直接对数组进行排序。
2. 否则，把数组划分为两个子数组，分别进行合并排序，然后合并两个有序的子数组为有序数组。

进行合并操作的复杂度为O(n)，由于每次把数组分为2个子数组，需要进行lg(n)次合并，所以时间复杂度为O(n*lg(n))，。

每次合并都需要与两个子数组长度和 大小的数组，所以空间复杂度为O(n)。

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记录插入排序及其改进算法、希尔排序、冒泡排序，及插入排序与冒泡排序的对比。
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